Question

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�A、B孔的面積忽略不計(jì)）？________________.

Answer 1

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),則y=,其中k＞0為比例系數(shù),依題意,即所求的a、b值使y值最小.根據(jù)題設(shè),有4b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0）得b=（0＜a＜30）,于是y==.

∵y′==0時(shí),a=6或a=-10（舍去）由于本題只有一個(gè)極值點(diǎn),故當(dāng)a=6此時(shí)b=3時(shí)為所求,即當(dāng)a為6米,b為3米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解法二：依題意,即所求的a、b值使ab最大.由題設(shè)知4b+2ab+2a=60,（a＞0,b＞0）,即a+2b+ab=30（a＞0,b＞0）.∵a+2b≥2,∴2·+ab≤30.當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)上式取等號(hào).由a＞0,b＞0,解得?0＜ab≤18?.即當(dāng)a=2b時(shí),ab取得最大值,其最大為18,由2b²=18解得b=3,此時(shí)a=6.故當(dāng)a為6米,b為3米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

答案：a=6米,b=3米