Question

已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），設(shè)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點(diǎn)恰好落在y軸上．
（1）當(dāng)r在（1，+∞）內(nèi)變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)軌跡E的準(zhǔn)線(xiàn)為l，N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作軌跡E的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為P，Q．求證：直線(xiàn)PQ必經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)B，并寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點(diǎn)D(0，

y

2

)．因?yàn)镃（1，0），

DC

=(1，-

y

2

)，

DM

=(x，

y

2

)．在⊙C中，因?yàn)镃D⊥DM，所以，

DC

•

DM

=0，由此能求出點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（2）軌跡E的準(zhǔn)線(xiàn)l：x=-1，所以，可設(shè)N（-1，t），過(guò)N的斜率存在的直線(xiàn)方程為：y-t=k（x+1），由

y2=4x y=kx+(k+t)

得

k

4

y2-y+(k+t)=0．由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．由此入手能夠證明直線(xiàn)PQ必經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)B，并能求出B的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則AM的中點(diǎn)D(0，

y

2

)．
因?yàn)镃（1，0），

DC

=(1，-

y

2

)，

DM

=(x，

y

2

)．
在⊙C中，因?yàn)镃D⊥DM，所以，

DC

•

DM

=0，
所以x-

y2

4

=0．
所以，y²=4x（x≠0）
所以，點(diǎn)M的軌跡E的方程為：y²=4x（x≠0）（5分）（說(shuō)明漏了x≠0不扣分）
（2）軌跡E的準(zhǔn)線(xiàn)l：x=-1
所以，可設(shè)N（-1，t），過(guò)N的斜率存在的直線(xiàn)方程為：y-t=k（x+1）
由

y2=4x y=kx+(k+t)

得

k

4

y2-y+(k+t)=0．
由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．
設(shè)直線(xiàn)NP，NQ斜率分別為k₁，k₂，則k₁k₂=-1①且yp=

2

k1

，yQ=

2

k2

所以P(

2

k12

，

2

k1

)，Q(

2

k22

，

2

k2

)
所以，直線(xiàn)PQ的方程：(y-

2

k1

)(k1+k2)=2k1k2(x-

2

k12

)．
令y=0，則x=

1

k12

-

k1+k2

k12k2

=

-k1

k12k2

=-

-1

k1k2

由①知，x=1即直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)B（1，0）．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．