Question

定義：對于一個(gè)函數(shù)f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D時(shí)，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數(shù)f（x）在D內(nèi)有一個(gè)寬度為d的通道．下列函數(shù)：①f（x）=e^-x，②f（x）=sinx，③f(x)=

x2-1

，④f（x）=x²，其中在[1，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道的函數(shù)的序號是

①③

．

Answer 1

分析：對于①，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，確定函數(shù)的值域，0＜e-x≤

1

e

，故可知兩條直線可取y=0，y=1；對于②，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，-1≤sinx≤1；對于③，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f(x)=

x2-1

，表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-

2

，滿足在[1，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道；
對于④，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）∈[1，+∞），故可得結(jié)論．

解答：解：對于①，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，0＜e-x≤

1

e

，故在[1，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道，兩條直線可取y=0，y=1；
對于②，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一個(gè)寬度為1的通道；
對于③，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f(x)=

x2-1

，表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-

2

，滿足在[1，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道；
對于④，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）∈[1，+∞），故在[1，+∞）不存在一個(gè)寬度為1的通道；
故答案為：①③

點(diǎn)評：本題考查的重點(diǎn)是對新定義的理解，解題的關(guān)鍵是通過研究函數(shù)的性質(zhì)，找出滿足題意的直線．