Question

定義一：對于一個函數(shù)f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D時，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂ 恒成立，則稱函數(shù)f（x）在D內(nèi)有一個寬度為d的通道．
定義二：若一個函數(shù)f（x），對于任意給定的正數(shù)?，都存在一個實數(shù)x₀，使得函數(shù)f（x）在[x₀，+∞）內(nèi)有一個寬度為?的通道，則稱f（x）在正無窮處有永恒通道．下列函數(shù)：
①f（x）=lnx，②f（x）=

sinx

x

，③f（x）=

x2-1

，④f（x）=x²，⑤f（x）=e^-x，
其中在正無窮處有永恒通道的函數(shù)的序號是

②③⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)定義一與定義二，對所給函數(shù)進(jìn)行逐一進(jìn)行判定，解題的關(guān)鍵看函數(shù)的單調(diào)性和是否有漸近線等．

解答：解：①f（x）=lnx，隨著x的增大，函數(shù)值也在增大，無漸近線，故不存在一個實數(shù)x₀，使得函數(shù)f（x）在[x₀，+∞）內(nèi)有一個寬度為?的通道，故f（x）在正無窮處無永恒通道；
②f（x）=

sinx

x

，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，對于任意給定的正數(shù)?，都存在一個實數(shù)x₀，使得函數(shù)f（x）在[x₀，+∞）內(nèi)有一個寬度為?的通道，故f（x）在正無窮處有永恒通道；
③f（x）=

x2-1

，隨著x的增大，函數(shù)值也在增大，有兩條漸近線y=±x，對于任意給定的正數(shù)?，都存在一個實數(shù)x₀，使得函數(shù)f（x）在[x₀，+∞）內(nèi)有一個寬度為?的通道，故f（x）在正無窮處有永恒通道；
④f（x）=x²，隨著x的增大，函數(shù)值也在增大，無漸近線，故不存在一個實數(shù)x₀，使得函數(shù)f（x）在[x₀，+∞）內(nèi)有一個寬度為?的通道，故f（x）在正無窮處無永恒通道；
⑤f（x）=e^-x，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，趨近于x軸，對于任意給定的正數(shù)?，都存在一個實數(shù)x₀，使得函數(shù)f（x）在[x₀，+∞）內(nèi)有一個寬度為?的通道，故f（x）在正無窮處有永恒通道．
故答案為：②③⑤

點評：本題考查的重點是對新定義的理解，解題的關(guān)鍵是通過研究函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．