【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率.以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8,面積為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若點為橢圓上一點,直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個交點.

【答案】(I);(II)詳見解析.

【解析】試題分析:

(1)利用題意求得, ,橢圓的方程為

(2)首先討論當(dāng)的情況,否則聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合直線的特點整理可得直線與橢圓有且只有一個交點.

試題解析:(Ⅰ)依題意,設(shè)橢圓的方程為,焦距為,

由題設(shè)條件知, , ,

, ,

所以, ,或 (經(jīng)檢驗不合題意舍去),

故橢圓的方程為

(Ⅱ)當(dāng)時,由,可得,

當(dāng) 時,直線的方程為,直線與曲線有且只有一個交點

當(dāng), 時,直線的方程為,直線與曲線有且只有一個交點

當(dāng)時,直線的方程為,聯(lián)立方程組

消去,得.①

由點為曲線上一點,得,可得

于是方程①可以化簡為,解得

代入方程可得,故直線與曲線有且有一個交點,

綜上,直線與曲線有且只有一個交點,且交點為

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