【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,過F的直線l交C于A,B兩點,交x軸于點D,B到x軸的距離比|BF|小1.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若SBOF=SAOD , 求l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)解法一:拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F(0, ),C的準(zhǔn)線方程為 , 由拋物線的定義,可知|BF|等于點B到C的準(zhǔn)線的距離.
又因為點B到x軸的距離比|BF|小1,
所以點B到x軸的距離比點B到拋物線準(zhǔn)線的距離小1,
,解得p=2,
所以C的方程為x2=4y.
解法二:C的焦點為
代入x2=2py,得x=p或x=﹣p,故 ,
因為點B到x軸的距離比|BF|小1, ,即 ,
解得p=2,所以C的方程為x2=4y,
經(jīng)檢驗,拋物線的方程x2=4y滿足題意.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C的焦點為F(0,1),設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k≠0),A(x1 , y1),B(x2 , y2).則
聯(lián)立方程組 消去y,得x2﹣4kx﹣4=0.
△=(﹣4k)2﹣4×1×(﹣4)=16k2+16>0,
由韋達(dá)定理,得x1+x2=4k,x1x2=﹣4.
設(shè)點O到直線l的距離為d,則 ,
又SBOF=SAOD , 所以|BF|=|AD|.
又A,B,D,F(xiàn)在同一直線上,所以 ,即
因為 ,
所以 ,整理,得16k4+16k2﹣1=0,
,解得 ,
所以l的方程為
【解析】(Ⅰ)解法一:由拋物線的焦半徑公式,點B到x軸的距離比點B到拋物線準(zhǔn)線的距離小1, ,即可求得p的值,求得拋物線方程; 解法二:將 代入x2=2py,得x=p或x=﹣p,故 ,由點B到x軸的距離比|BF|小1, ,即 ,即可求得p的值,求得拋物線方程;(Ⅱ)設(shè)直線l的方程,代入拋物線方程,由SBOF=SAOD , 則|BF|=|AD|.利用韋達(dá)定理可得: ,即 ,則兩邊平方,即可求得k的值,求得直線l的方程.

練習(xí)冊系列答案
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為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù),求的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

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商店名稱

銷售額/千萬元

3

5

6

7

9

利潤額/百萬元

2

3

3

4

5

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(2)用最小二乘法計算利潤額關(guān)于銷售額的回歸直線方程;

(3)當(dāng)銷售額為4千萬元時,利用(2)的結(jié)論估計該零售店的利潤額(百萬元).

[參考公式:,]

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