拋物線x2=8y的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于A點(diǎn),過A作直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸上,P為MN中點(diǎn),且()•=0.
(1)求||的取值范圍;
(2)是否存在這樣的點(diǎn)B,使得△BMN為等腰直角三角形,且∠B=90°.若存在,求出點(diǎn)B;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)由題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)()•=0得到PB垂直平分線段MN,由點(diǎn)斜式寫出MN所在直線方程,和拋物線聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo),再由BP和MN垂直得到BP所在直線方程,取x=0得到B在y軸上的截距,由此得到||的取值范圍;
(2)若存在點(diǎn)B,使得△BMN為等腰直角三角形,且∠B=90°,則有(1)可知,由兩點(diǎn)間的距離公式及弦長公式分別求出等式兩邊的長度(用含有k的代數(shù)式表示),兩邊平方后即可求解k的值,則答案可求.
解答:解:(1)拋物線為x2=8y,準(zhǔn)線為y=-2,
∴A(0,-2).
MN的中點(diǎn)為P,∵()•=0,
,∴PB垂直平分線段MN,
設(shè)MN為:y=kx-2,與x2=8y聯(lián)立,得
x2-8kx+16=0.
xM+xN=8k,xMxN=16.
由△>0⇒64k2-4×16>0⇒k2>1.
又點(diǎn)P坐標(biāo)為:
∴直線PB方程為:
令x=0,得y=2+4k2>6,∴||的取值范圍是(6,+∞);
(2)存在點(diǎn)B(0,10)為所求.
事實(shí)上,若存在點(diǎn)B,使得△BMN為等腰直角三角形,且∠B=90°.
因?yàn)橛桑?)知PB垂直平分線段MN,
所以,
由B(0,2+4k2),P(4k,4k2-2),
∴|BP|=

=

解得,k2=2,
∴點(diǎn)B(0,10)為所求.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,解答的關(guān)鍵是能有題意得到相應(yīng)的等式,訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,是有一定難度題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線x2=8y的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于A點(diǎn),過A作直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸上,P為MN中點(diǎn),且(
BM
+
MP
)•
MN
=0.
(1)求|
OB
|的取值范圍;
(2)是否存在這樣的點(diǎn)B,使得△BMN為等腰直角三角形,且∠B=90°.若存在,求出點(diǎn)B;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線x2=8y的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B在拋物線對(duì)稱軸上,過A可作直線交拋物線于點(diǎn)M、N,使得
.
BM•
.
MN
=-
.
MN
2
2
,則|
OB
|的取值范圍是
(6,+∞)
(6,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•撫州模擬)拋物線x2=-8y的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A.過點(diǎn)A作直線交拋物線于M,N兩點(diǎn),.點(diǎn)B在拋物線對(duì)稱軸上,且(
BM
+
MN
2
)⊥
MN
.則|
OB
|
的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(13分)拋物線x2=8y的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于A點(diǎn),過A作直線與拋物線交于MN兩點(diǎn),點(diǎn)B

       拋物線的對(duì)稱軸上,PMN中點(diǎn),且

   (1)求的取值范圍;

   (2)是否存在這樣的點(diǎn)B,使得△BMN為等腰直角三角形,且∠B=90°。若存在,求

        出點(diǎn)B;若不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線x2=8y的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于A點(diǎn),過A作直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸上,P為MN中點(diǎn),且(
BM
+
MP
)•
MN
=0.
(1)求|
OB
|的取值范圍;
(2)是否存在這樣的點(diǎn)B,使得△BMN為等腰直角三角形,且∠B=90°.若存在,求出點(diǎn)B;若不存在,說明理由.

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