Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為d₁，到點(diǎn)（0，）的距離為d₂，且．又設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線l：y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出軌跡C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，試問：當(dāng)k＞0時(shí)，是否恒有？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以（0，）為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的橢圓．由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）由，得（k²+4）x²+2kx-3=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故，．若，即x₁x₂+y₁y₂=0．由此能求出k的值．
（Ⅲ）=．因?yàn)锳在第一象限，故x₁＞0．由，知x₂＜0，由此計(jì)k＞0時(shí)，．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以（0，）為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的橢圓．
由得，故曲線C的方程為．…（4分）
（Ⅱ）由，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故，．
若，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是，
化簡(jiǎn)得-4k²+1=0，
所以k=．…．（8分）
（Ⅲ）
=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=．
因?yàn)锳在第一象限，故x₁＞0．
由，知x₂＜0，
從而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故，
即在題設(shè)條件下，恒有．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．