Question

（1）若橢圓的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．在此條件下我們可以提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“設(shè)△PF₁F₂的過(guò)P角的外角平分線為l，自焦點(diǎn)F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點(diǎn)的軌跡方程？”
對(duì)該問(wèn)題某同學(xué)給出了一個(gè)正確的求解，但部分解答過(guò)程因作業(yè)本受潮模糊了，我們?cè)?br />
這些模糊地方劃了線，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整．
解：延長(zhǎng)F₂Q 交F₁P的延長(zhǎng)線于E，據(jù)題意，
E與F₂關(guān)于l對(duì)稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=

 

，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=

 

，
注意到P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)，所以Q點(diǎn)的軌跡是

 

，
其方程是：

 

．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．請(qǐng)你試著提出與（1）類似的問(wèn)題，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意：延長(zhǎng)F₂Q 交F₁P的延長(zhǎng)線于E，E與F₂關(guān)于l對(duì)稱，所以|PE|=|PF₂|．所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=2a，在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=a，注意到P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)，易得答案．
（2）問(wèn)題：如圖，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．設(shè)△PF₁F₂的過(guò)P角的內(nèi)角平分線為l，自焦點(diǎn)F₁引l的垂線，垂足為Q，試求Q點(diǎn)的軌跡方程？并加以證明．利用與（1）類似的方法進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意：延長(zhǎng)F₂Q 交F₁P的延長(zhǎng)線于E，
E與F₂關(guān)于l對(duì)稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=2a，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=a，
注意到P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)，所以Q點(diǎn)的軌跡是 圓（不含橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)），
其方程是：x²+y²=a²（x≠±a）
故答案為：2a，a，圓，x²+y²=a²（x≠±a）．
（2）問(wèn)題：如圖，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．設(shè)△PF₁F₂的過(guò)P角的內(nèi)角平分線為l，自焦點(diǎn)F₁引l的垂線，垂足為Q，試求Q點(diǎn)的軌跡方程？并加以證明．
證明：延長(zhǎng)F₁Q 交F₂P的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)題意，
E與F₁關(guān)于l對(duì)稱，所以|PE|=|PF₁|．
所以|EF₁|=|PF₁|-|PE|=|PF₁|-|PF₂|=2a，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₂的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₂|=a，
注意到P是橢圓上異于實(shí)軸端點(diǎn)的點(diǎn)，所以Q點(diǎn)的軌跡是 圓（不含雙曲線實(shí)軸端點(diǎn)），
其方程是：x²+y²=a²（x≠±a）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，定義的應(yīng)用，得出OQ是平行于EF₂的中位線是解題的難點(diǎn)．