【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時,試討論的單調(diào)性;

2)若對任意的,方程恒有個不等的實根,求的取值范圍.

【答案】(1),單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;

,單調(diào)遞增.

(2)

【解析】

1)求出,然后對進行分類討論,判斷出的正負(fù),從而得到的單調(diào)區(qū)間,得到答案;(2)問題等價于有兩解,令,利用導(dǎo)數(shù)求出,求出其單調(diào)性和極值,結(jié)合圖像得到,過作切線時,斜率最大,通過導(dǎo)數(shù)求出過一點的切線,得到最大值,從而得到取值范圍.

解:(1,

i,令,得到,

解得,(舍)

所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,單調(diào)遞減,

所以單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

ii,令,得到

當(dāng)時,,單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,單調(diào)遞減,

所以單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

iii,

,得到,

當(dāng)時,單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,單調(diào)遞減,

單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;

iiii,恒成立,所以單調(diào)遞增;

綜上所述,

單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;

單調(diào)遞增.

2)因為對任意的,方程恒有個不等的實根

所以將問題等價于有兩解

,

;遞增,遞減;

,

,;

有圖象知要使的圖像和的圖像有兩個交點,

,過作切線時,斜率最大.

設(shè)切點為,有

,

此時斜率取到最大

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】20141219日,2014年中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(第30屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營)在重慶市巴蜀中學(xué)舉行.參加本屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽共有來自各省、市(自治區(qū)、直轄市)、香港地區(qū)、澳門地區(qū),以及俄羅斯、新加坡等國的30余支代表隊,共317名選手.競賽為期2天,每天3道題,限時4個半小時完成.部分優(yōu)勝者將參加為國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽而組建的中國國家集訓(xùn)隊.中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營)是在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽基礎(chǔ)上進行的一次較高層次的數(shù)學(xué)競賽,該項活動也是中國中學(xué)生級別最高、規(guī)模最大、最有影響的全國性數(shù)學(xué)競賽.2020年第29屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽也將在重慶巴蜀中學(xué)舉行.巴蜀中學(xué)校本選修課“數(shù)學(xué)建模”興趣小組調(diào)查了2019年參加全國生物競賽的200名學(xué)生(其中男生、女生各100人)的成績,得到這200名學(xué)生成績的中位數(shù)為78.200名學(xué)生成績均在50110之間,且成績在內(nèi)的人數(shù)為30,這200名學(xué)生成績的高于平均數(shù)的男生有62名,女生有38.并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖.

1)求的值;

2)填寫下表,能否有的把握認(rèn)為學(xué)生成績是否高于平均數(shù)與性別有關(guān)系?

男生

女生

總計

成績不高于平均數(shù)

成績高于平均數(shù)

總計

參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(1)若,求的最大值;

(2)當(dāng)時,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),.

1)當(dāng),求曲線在點處的切線方程;

2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求實數(shù)的值;

3)當(dāng)時,若函數(shù)恰有兩個零點,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠生產(chǎn)一批零件,為了解這批零件的質(zhì)量狀況,檢驗員從這批產(chǎn)品中隨機抽取了100件作為樣本進行檢測,將它們的重量(單位:g)作為質(zhì)量指標(biāo)值,由檢測結(jié)果得到如下頻率分布表和頻率分布直方圖.

分組

頻數(shù)

頻率

8

16

0.16

4

0.04

合計

100

1

1)求圖中,的值;

2)根據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:零件重量小于47或大于53為不合格品,重量在區(qū)間內(nèi)為合格品,重量在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品.已知每件產(chǎn)品的檢測費用為5元,每件不合格品的回收處理費用為20.以抽檢樣本重量的頻率分布作為該批零件重量的概率分布.若這批零件共400件,現(xiàn)有兩種銷售方案:

方案一:對剩余零件不再進行檢測,回收處理這100件樣本中的不合格品,余下所有零件均按150/件售出;

方案二:繼續(xù)對剩余零件的重量進行逐一檢測,回收處理所有不合格品,合格品按150/件售出,優(yōu)質(zhì)品按200/件售出.

僅從獲得利潤大的角度考慮,該生產(chǎn)商應(yīng)選擇哪種方案?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】,令

1)求的極值

2)若單調(diào)遞增,求的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某研究機構(gòu)為了解某學(xué)校學(xué)生使用手機的情況,在該校隨機抽取了60名學(xué)生(其中男、女生人數(shù)之比為21)進行問卷調(diào)查.進行統(tǒng)計后將這60名學(xué)生按男、女分為兩組,再將每組學(xué)生每天使用手機的時間(單位:分鐘)分為5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖(所抽取的學(xué)生每天使用手機的時間均不超過50分鐘).

1)求出女生組頻率分布直方圖中的值;

2)求抽取的60名學(xué)生中每天使用手機時間不少于30分鐘的學(xué)生人數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.

(1)求的解析式;

(2)判斷方程內(nèi)的解的個數(shù),并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】過正方體的頂點作平面,使每條棱在平面的正投影的長度都相等,則這樣的平面可以作(

A.1B.2C.3D.4

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同步練習(xí)冊答案