【題目】對于無窮數(shù)列,記,若數(shù)列滿足:“存在,使得只要(且),必有”,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(Ⅰ)若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)?是否具有性質(zhì)?
(Ⅱ)求證:“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件;
(Ⅲ)已知是各項為正整數(shù)的數(shù)列,且既具有性質(zhì),又具有性質(zhì),求證:存在整數(shù),使得是等差數(shù)列.
【答案】(Ⅰ)數(shù)列不具有性質(zhì);具有性質(zhì);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)新定義直接驗證即可的結(jié)論(2)對于“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件,先證不充分性對于周期數(shù)列, 是有限集,但是由于,
所以不具有性質(zhì);再證必要性因為數(shù)列具有性質(zhì),所以一定存在一組最小的且,滿足,即,所以數(shù)列中必然會以某個周期進行,所以數(shù)列中最多有個不同的項,從而得證(3)因為數(shù)列具有性質(zhì),數(shù)列具有性質(zhì),所以存在,使得, ,其中分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù),然后根據(jù)其性質(zhì)列出相關(guān)等式可得結(jié)論,然后逐一分析取值討論
試題解析:
(Ⅰ)數(shù)列不具有性質(zhì);具有性質(zhì).
(Ⅱ)(不充分性)對于周期數(shù)列, 是有限集,但是由于,
所以不具有性質(zhì);
(必要性)因為數(shù)列具有性質(zhì),
所以一定存在一組最小的且,滿足,即
由性質(zhì)的含義可得
所以數(shù)列中,從第k項開始的各項呈現(xiàn)周期性規(guī)律: 為一個周期中的各項,
所以數(shù)列中最多有個不同的項,
所以最多有個元素,即是有限集.
(Ⅲ)因為數(shù)列具有性質(zhì),數(shù)列具有性質(zhì),
所以存在,使得, ,其中分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù),
由性質(zhì)的含義可得, ,
若,則取,可得;
若,則取,可得.
記,則對于,有, ,顯然,
由性質(zhì)的含義可得, ,
所以
所以.
所以,
又是滿足, 的最小的正整數(shù),
所以,
,
所以, ,
所以, , ,
取,則,
所以,若是偶數(shù),則;
若是奇數(shù),則,
所以,
所以是公差為1的等差數(shù)列.
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【題目】如圖已知橢圓C: +y2=1,以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0).設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求 的最小值;
(2)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標(biāo)原點,求證:丨OR丨丨OS丨為定值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ 的圖象經(jīng)過點A(1,1),B(2,﹣1).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并用定義證明;
(3)求f(x)在區(qū)間[ ,1]上的值域.
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【題目】如圖,拋物線: 與橢圓: 在第一象限的交點為, 為坐標(biāo)原點, 為橢圓的右頂點, 的面積為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)過點作直線交于、 兩點,射線、分別交于、兩點,記和的面積分別為和,問是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (x∈R),e是自然對數(shù)的底.
(1)計算f(ln2)的值;
(2)證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
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【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A.
與g(x)=x﹣1
B.f(x)=2|x|與
C.
與
D.
與
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【題目】解答
(1)已知全集U={x|﹣5≤x≤10,x∈Z},集合M={x|0≤x≤7,x∈Z},N={x|﹣2≤x<4,x∈Z},求(UN)∩M(分別用描述法和列舉法表示結(jié)果)
(2)已知全集U=A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若集合A∩UB={2,4,6,8},求集合B;
(3)已知集合P={x|ax2+2ax+1=0,a∈R,x∈R},當(dāng)集合P只有一個元素時,求實數(shù)a的值,并求出這個元素.
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【題目】等腰直角三角形ABC的直角頂點A在x軸的正半軸上,B在y軸的正半軸上,C在第一象限,設(shè)∠BAO=θ(O為坐標(biāo)原點),AB=AC=2,當(dāng)OC的長取得最大值時,tanθ的值為( )
A.
B.﹣1+
C.
D.
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【題目】某公司為評估兩套促銷活動方案(方案1運作費用為5元/件;方案2的運作費用為2元/件),在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點(每個試點網(wǎng)點只采用一種促銷活動方案),運作一年后,對比該地區(qū)上一年度的銷售情況,制作相應(yīng)的等高條形圖如圖所示.
(1)請根據(jù)等高條形圖提供的信息,為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動方案(不必說明理由);
(2)已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件(未包括促銷活動運作費用),為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷售價格,統(tǒng)計上一年度的8組售價(單位:元/件,整數(shù))和銷量(單位:件)()如下表所示:
售價 | 33 | 35 | 37 | 39 | 41 | 43 | 45 | 47 |
銷量 | 840 | 800 | 740 | 695 | 640 | 580 | 525 | 460 |
①請根據(jù)下列數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù),并根據(jù)計算結(jié)果,選擇合適的回歸模型進行擬合;
②根據(jù)所選回歸模型,分析售價定為多少時?利潤可以達(dá)到最大.
49428.74 | 11512.43 | 175.26 | |
124650 |
(附:相關(guān)指數(shù))
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