Question

已知，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）滿足如下對應關系：當點（x，y）在y=f（x）的圖象上時，點在y=g（x）的圖象上，且f（0）=0，g（-1）=1．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）指出函數(shù)y=g（x）的單調遞增區(qū)間，并用單調性定義證明之．

Answer 1

解：（1）由題意可得，解得，
故=，x∈（，）
故必有2y=，即y=，
故函數(shù)y=g（x）的解析式為：g（x）=；
（2）由（1）可知，函數(shù)y=g（x）的單調遞增區(qū)間為（，0），
任取x₁，x₂∈（，0），且x₁＜x₂，
由復合函數(shù)的單調性可知，只需證明函數(shù)m（x）=10-9x²在區(qū)間（，0）上單調遞增，
則有m（x₁）-m（x₂）=（）-（）
=9（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈（，0），且x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＜0，x₂-x₁＞0，∴9（x₂+x₁）（x₂-x₁）＜0，
故m（x₁）＜m（x₂），
故函數(shù)y=g（x）的單調遞增區(qū)間為（，0），
分析：（1）由題意可得關于ab的方程組，解之可得函數(shù)f（x）的解析式，進而可得g（x）的解析式；
（2）可知函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（，0），由復合函數(shù)的單調性，只需證明函數(shù)m（x）=10-9x²在區(qū)間（，0）上單調遞增即可，由單調性的定義可證．
點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)單調性的判斷與證明，屬基礎題．