Question

已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點為拋物線x²＝4y的焦點．
(1)求橢圓方程；
(2)若直線y＝x－1與拋物線相切于點A，求以A為圓心且與拋物線的準線相切的圓的方程；
(3)若斜率為1的直線交橢圓于M、N兩點，求△OMN面積的最大值(O為坐標原點)．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）(x－2)²＋(y－1)²＝4（3）

(1)由題意設(shè)橢圓方程為：＝1(a＞b＞0)，
因為拋物線x²＝4y的焦點為(0,1)，
所以b＝1.由離心率e＝＝，a²＝b²＋c²解得a＝，b＝1，c＝1，橢圓方程為＋y²＝1.
(2)由解得，所以A＝(2,1)．
因為拋物線的準線方程為y＝－1，
所以圓的半徑r＝1－(－1)＝2，
所以圓的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝4.
(3)設(shè)直線MN方程為y＝x＋m，由得3x²＋4mx＋2m²－2＝0.
由判別式Δ＝16m²－12(2m²－2)＞0，解得－＜m＜.
設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝－m，x₁x₂＝，
所以|MN|＝
原點O到直線MN的距離d＝
S＝|MN|d＝＝≤ (m²＋3－m²)＝.
當且僅當m²＝3－m²即m＝±時等號成立，所以三角形OMN面積的最大值為.