Question

【題目】已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點分別在棱上運動，且滿足：，.

（1）求證：四點共面，并證明∥平面.

（2）是否存在點使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在點使之成立.見解析

【解析】

(1) 在線段上分別取點,使得,進而得到與即可.

(2) 以為原點,分別以,及過且與平行的直線為軸建立空間直角坐標系,再求解平面的法向量與平面的法向量,再設,,再根據(jù)二面角的計算方法分析是否存在使得二面角為的余弦值為即可.

解：（1）證法1：在線段上分別取點,使得,易知四邊形是平行四邊形,所以,聯(lián)結,

則,且

所以四邊形為矩形,故,同理,

且,故四邊形是平行四邊形,所以,所以

故四點共面

又,平面,平面,

所以平面.

證法2：因為直棱柱的底面是菱形,∴,底面,設交點為,以為原點,分別以,及過且與平行的直線為軸建立空間直角坐標系.則有,,,,設,,則,,,,,,所以,故四點共面.又,平面,平面,所以平面.

（2）平面中向量,,設平面的一個法向量為,則,可得其一個法向量為.

平面中,,,設平面的一個法向量為

,則,所以取其一個法向量.

若,則,

即有,,解得,故不存在點使之成立.