Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)ax³+bx²+cx+d(a、b、c、d∈R)．

(1)若f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)上都是增函數(shù)，在(-1，3)上是減函數(shù)，且f(0)=-7，f′(0)=-18，求函數(shù)f(x)的表達式；

(2)若a、b、c滿足b²-3ac＜0，求證：f(x)在(-∞，+∞)上是單調(diào)函數(shù)；

(3)設a＞0，x₁、x₂是函數(shù)g(x)=f(x)-ax³-x²-a(a²+c)x的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2，證明：0＜a≤1．

 

Answer 1

解：(1)由f(0)=-7，f′(0)=-18，得d=-7，c=-18．

∵f(x)在(-1，3)上是減函數(shù)，在(3，+∞)上是增函數(shù)，

∴-1和3是f′(x)=3ax²+2bx-18=0的兩根，

∴ 解得．

∴f(x)=2x³-6x²-18x-7

(2)對于f′(x)=3ax²+2bx+c，由b²-3ac＜0，

得△=4b²-12ac=4(b²-3ac)＜0．

∴當a＞0時，f′(x)＞0恒成立，則f(x)是增函數(shù)；

當a＜0時，f′(x)＜0恒成立，則f(x)是減函數(shù)．

故對于任意實數(shù)x,f(x)總是單調(diào)函數(shù)．

(3)∵x₁，x₂是方程g′(x)=ax²+bx-a²=0的兩個根．

∴x₁+x₂=，x₁x₂=-a＜0

∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|==2

∴b²=4a²-4a³≥0  ∴0＜a≤l