Question

（2012•湖南）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁上的點(diǎn)均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且對(duì)C₁上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值．
（Ⅰ）求曲線C₁的方程
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠±3）為圓C₂外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C₂的兩條切線，分別于曲線C₁相交于點(diǎn)A，B和C，D．證明：當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)對(duì)C₁上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值，可得|x+2|=

(x-5)2+y2

-3且圓C₂上的點(diǎn)位于直線x=-2的右側(cè)，從而可得曲線C₁的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為（-4，y₀），設(shè)切線方程為kx-y+y₀+4k=0，利用直線與圓相切可得72k2+18y0k+y02-9=0，從而可得過(guò)P所作的兩條切線PA，PC的斜率k₁，k₂是方程的兩個(gè)實(shí)根，設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，y₃，y₄，從而可得y1y2=

20(y0+4k1)

k1

；同理可得y3y4=

20(y0+4k2)

k2

，由此可得當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值為6400．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），由已知得|x+2|=

(x-5)2+y2

-3且圓C₂上的點(diǎn)位于直線x=-2的右側(cè)
∴

(x-5)2+y2

=x+5
化簡(jiǎn)得曲線C₁的方程為y²=20x
（Ⅱ）證明：當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為（-4，y₀），
∵y₀≠±3，∴過(guò)P且與圓C₂相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為
y-y₀=k（x+4），即kx-y+y₀+4k=0，
∴

|5k+y0+4k|

k2+1

=3，整理得72k2+18y0k+y02-9=0①
設(shè)過(guò)P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，則k₁，k₂是方程①的兩個(gè)實(shí)根
∴k1+k2=-

y0

4

②
由

k1x-y+y0+4k1=0 y2=20x

，消元可得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0③
設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，y₃，y₄，
∴y₁，y₂是方程③的兩個(gè)實(shí)根
∴y1y2=

20(y0+4k1)

k1

④
同理可得y3y4=

20(y0+4k2)

k2

⑤
由②④⑤可得y1y2y3y4=

20(y0+4k1)

k1

×

20(y0+4k2)

k2

=

400(y02-y02+16k1k2)

k1k2

=6400
∴當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值為6400．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與圓相切，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是切線與拋物線聯(lián)立，屬于中檔題．