Question

已知函數(shù)，，
(Ⅰ)若，求函數(shù)的極值；
(Ⅱ)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)取得極大值，無極小值；(Ⅱ)的取值范圍為；（Ⅲ）不存在符合題意的兩點(diǎn)．

試題分析：(Ⅰ)若，求函數(shù)的極值，首先寫出，把代入后求導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性，最后得到函數(shù)的極值情況； (Ⅱ)根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)大于0恒成立，分離變量后可求不等式一側(cè)所對應(yīng)的函數(shù)的值域，從而求出的取值范圍； （Ⅲ）利用反證法思想，假設(shè)兩點(diǎn)存在，由線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與直線AB的斜率之間滿足，利用兩點(diǎn)求斜率得到，把也用兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，整理后得到∴，令，引入函數(shù)，通過求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性得到，即，從而得出矛盾，說明假設(shè)錯誤．
試題解析：(Ⅰ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024019845543.png" style="vertical-align:middle;" />                  1分
，                       2分
故單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減，                         3分
時(shí)，取得極大值，無極小值。            4分
(Ⅱ)，，
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則對恒成立                5分
，只需               6分
時(shí)，，則，，            7分
故，的取值范圍為                       8分
（Ⅲ）假設(shè)存在，不妨設(shè)，
                          9分
                                  10分
由得，整理得        11分
令，，12分，
在上單調(diào)遞增，                                  13分
，即，故
不存在符合題意的兩點(diǎn)。                                  14分