Question

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），橢圓的右頂點(diǎn)為D，且滿足，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1)  ;(2)

【解析】

試題分析：(1)本小題通過待定系數(shù)法列出兩個(gè)關(guān)于的方程.通過解方程組求出橢圓方程.包含著二次方的運(yùn)算需掌握.(2)本小題是直線與橢圓的位置關(guān)系的問題.這類題目的常用思路就是聯(lián)立直線方程和橢圓方程通過消元得到一個(gè)二次方程，確定判別式的情況.正確書寫利用韋達(dá)定理. ，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），橢圓的右頂點(diǎn)為D，且滿足，D點(diǎn)不是左右定點(diǎn)要關(guān)注.根據(jù)向量的數(shù)量積為零.可得到關(guān)于兩個(gè)根的等式.再利用韋達(dá)定理即可得關(guān)于m,k的等式.從而就可得相應(yīng)的結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由題意橢圓的離心率。

     

∴橢圓方程為 2分

又點(diǎn)在橢圓上

∴橢圓的方程為 4分

(II)設(shè)，由得

，

，.

所以，又橢圓的右頂點(diǎn)

，，

，

，解得

，且滿足.

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)

綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 

考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系.2.韋達(dá)定理3.向量積的問題.4.過定點(diǎn)的問題.5.直線與橢圓的綜合問題.