【題目】已知圓與圓相外切，且與直線相切．

（1）記圓心的軌跡為曲線，求的方程；

（2）過點(diǎn)的兩條直線與曲線分別相交于點(diǎn)和，線段和的中點(diǎn)分別為.如果直線與的斜率之積等于1，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線定義可知圓心的軌跡為拋物線，進(jìn)而可得其軌跡方程.

（2）由題意可設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，表示出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而以代替點(diǎn)坐標(biāo)中的，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；即可表示出直線的斜率及其方程，進(jìn)而得所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）依題意等于到直線的距離，

故所求軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線.

故其軌跡的方程為.

（2）依題意直線斜率都存在且均不為，

故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.

直線的方程為，

即為.

由消去整理得，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

以代替點(diǎn)坐標(biāo)中的，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以直線的斜率，

所以直線的方程為，

即.

故經(jīng)過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值點(diǎn)的個數(shù)；

（2）設(shè)函數(shù)，，為曲線上任意兩個不同的點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.

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【題目】某便利店統(tǒng)計了今年第一季度各個品類的銷售收入占比和凈利潤占比，并將部分品類的這兩個數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計圖（注：銷售收入占比，凈利潤占比，凈利潤銷售收入成本各類費(fèi)用），現(xiàn)給出下列判斷：

①該便利店第一季度至少有一種品類是虧損的；

②該便利店第一季度的銷售收入中“生鮮類”貢獻(xiàn)最大；

③該便利店第一季度“非生鮮食品類”的凈利潤一定高于“日用百貨”的銷售收入；

④該便利店第一季度“生鮮類”的銷售收入比“非生鮮食品類”的銷售收入多.

則上述判斷中正確的是（ ）

A.①②B.②③C.①④D.③④

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【題目】已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，證明：；

（2）若時，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若在單調(diào)遞增，求的值；

（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的值域．

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【題目】近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴(yán)重和電池技術(shù)的提高，電動汽車已被世界公認(rèn)為21世紀(jì)汽車工業(yè)改造和發(fā)展的主要方向.為了降低對大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發(fā)了兩款電動汽車車型和車型，并在黃金周期間同時投放市場.為了了解這兩款車型在黃金周的銷售情況，制造商隨機(jī)調(diào)查了5家汽車店的銷量（單位：臺），得到下表：

店

甲

乙

丙

丁

戊

車型

6

6

13

8

11

車型

12

9

13

6

4

（1）若從甲、乙兩家店銷售出的電動汽車中分別各自隨機(jī)抽取1臺電動汽車作滿意度調(diào)查，求抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型的概率；

（2）現(xiàn)從這5家汽車店中任選3家舉行促銷活動，用表示其中車型銷量超過車型銷量的店的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，已知點(diǎn)是軸下方（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)、滿足，，其中為常數(shù)，且、兩點(diǎn)均在上，弦的中點(diǎn)為．

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，時，求弦所在的直線方程；

（2）在（1）的條件下，如果過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線也只有一個交點(diǎn)，求證：若和的斜率都存在，則與的交點(diǎn)在直線上；

（3）若直線交拋物線于點(diǎn)，求證：線段與的比為定值，并求出該定值．

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【題目】橢圓的焦距是，長軸長是短軸長3倍，任作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（如圖所示），且點(diǎn)在直線的左上方.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求的面積；

（3）證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。

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【題目】如圖所示，圓錐的底面半徑為2，是圓周上的定點(diǎn)，動點(diǎn)在圓周上逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)()，是母線的中點(diǎn)，已知當(dāng)時，與底面所成角為.

（1）求該圓錐的側(cè)面積；

（2）若，求的值.

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