Question

如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′=O，求：
（1）AO與A′C′所成角；
（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB與平面AOC所成角．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A′C′∥AC，可得AO與A′C′所成角就是∠OAC，解Rt△AOC，求出∠OAC的大�。�
（2）如圖，作OE⊥BC于E，連接AE，由平面BC′⊥平面ABCD，得OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成角，解在Rt△OAE，求出tan∠OAE的大�。�
（3）由OC⊥OA，OC⊥OB，可知OC⊥平面AOB，又OC?平面AOC，故平面AOB⊥平面AOC，從而得到平面AOB與平面AOC所成角為90°．

解答：解：（1）∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成角就是∠OAC．∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥OA，
在Rt△AOC中，OC═OC=

2

2

，AC=

2

，∴∠OAC=30°．（4分）
（2）如圖，作OE⊥BC于E，連接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成角．
在Rt△OAE中，OE=

1

2

，AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，∴tan∠OAE=

OE

AE

=

5

5

．（9分）
（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB與平面AOC所成角為90°．（13分） 

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，求直線和平面所成的角，求二面角的大小的方法，找出這些角，是解題的關(guān)鍵．