Question

設數(shù)列{a_n}是以a為首項，t為公比的等比數(shù)列，令b_n=1+a₁+a₂+…+a_n，c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，n∈N
（1）試用a，t表示b_n和c_n
（2）若a＞0，t＞0且t≠1，試比較c_n與c_n+1（n∈N）的大小
（3）是否存在實數(shù)對（a，t），其中t≠1，使得{c_n}成等比數(shù)列，若存在，求出實數(shù)對（a，t）和{c_n}；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）注意到b_n=1+a₁+a₂+…+a_n除 首項，其余是數(shù)列{a_n} 各項，按照等比數(shù)列求和公式可表示出b_n，再去求c_n．注意對公比t是否為1進行討論．
（2），由此再判判斷．
（3），若成等比數(shù)列，根據(jù)通項公式特點須研究方程組解得情況，做出判斷．
解答：解：（1）當t=1時，a_n=a₁=a，b_n=1+na，
當t≠1時，a_n=at^n-1，
∴
（2）
當t＞1時，1-t＜0，1-tⁿ⁺¹＜0，而已知a＞0，∴∴c_n+1-c_n＞0
同理當0＜t＜1時，1-t＞0，1-tⁿ⁺¹＞0，而已知a＞0，∴∴c_n+1-c_n＞0
綜上所述c_n+1＞c_n
（3）若成等比數(shù)列，則令
由（2），得a=t-1代入（1），得
此時c_n=2ⁿ⁺¹=4×2^n-1
所以存在實數(shù)對（a，t）為（1，2），使得{c_n}成為以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
點評：本題考查等差、等比數(shù)列求和，代數(shù)式大小比較，方程組求解問題，考查計算、轉(zhuǎn)化，分類討論等思想方法和能力．