Question

若直角三角形ABC所在平面外一點(diǎn)P到點(diǎn)A，B，C等距離，P到面ABC的距離為b，且一直角邊長(zhǎng)為2a，則P到另一直角邊的距離為

a2+b2

．

Answer 1

分析：利用射影定理，可知，若三角形所在平面外一點(diǎn)到三角形的三個(gè)定點(diǎn)距離相等，則該點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為三角形的外心，又因?yàn)槿�角形ABC為直角三角形，外心位于斜邊中點(diǎn)，利用三垂線定理和中位線的性質(zhì)，可得若連接BC中點(diǎn)D與O點(diǎn)，則直角三角形POD的斜邊為所求，在解直角三角形即可．

解答：解：如圖，設(shè)直角三角形ABC中，∠B為直角，AB=2a，
設(shè)P點(diǎn)在平面ABC中的攝影為點(diǎn)O，∵點(diǎn)P到點(diǎn)A，B，C等距離，∴OA=OB=OC
又∵△ABC為直角三角形，∴O為斜邊AC的中點(diǎn)，PO=b
取BC中點(diǎn)D，連接DO，則DO∥AB，且，DO=

1

2

AB，∴DO=a，且DO⊥AB，
連接PD，
∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AB，又∵DO⊥AB，∴AB⊥PD
∴PD為P點(diǎn)到BC的即為所求．
在Rt△POD中，PD²=PO²+DO²，∴PD=

a2+b2

故答案為：

a2+b2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要在立體圖形中考查了射影定理，三垂線定理的綜合應(yīng)用，綜合考查了學(xué)生的理解力，空間想象力，以及計(jì)算能力．