Question

【題目】定義：若兩個二次曲線的離心率相等，則稱這兩個二次曲線相似．如圖，橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，右頂點為A，以其短軸的兩個端點B1 ， B2及其一個焦點為頂點的三角形是邊長為6的正三角形，M是C上異于B1 ， B2的一個動點，△MB1B2的重心為G，G點的軌跡記為C1 ．

（1）（i）求C的方程；
（ii）求證：C1與C相似；
（2）過B1點任作一直線，自下至上依次與C1、x軸的正半軸、C交于不同的四個點P，Q，R，S，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）（i）解：設(shè)C的方程： + =1（a＞b＞0），則 ，

∴a=6，b=3，

∴C的方程： =1；

（ii）證明：設(shè)G（x，y），M（x0，y）（x0≠0），則x0=3x，y0=3y

把點M（3x，3y）的坐標(biāo)代入C的方程，得軌跡C1的方程為 =1（x≠0），

∴軌跡C1也為橢圓（除去（0，﹣1），（0，1）兩點），求得a1=2，c1= ，e1= ，

∵C的離心率e= ，

∴e1=e，

∴C1與C相似；

（2）解：設(shè)直線方程為y=kx﹣3（k＞0），代入C的方程得（1+4k2）x2﹣24kx=0，∴xS= ，yS= ，

∴ = ，

代入C1的方程得（1+4k2）x2﹣24kx+32=0，由k＞0，△＞0得k＞ ，

由韋達(dá)定理得xP+xR= ，xPxR= ，

∴|PR|2=（1+k2）[ ﹣ ]．

∵|AQ|=6﹣ = ，

∴ =

令f（k）= （k ）

則f′（k）= ＜0

∴f（k）在（ ，+∞）上是減函數(shù)，

∴ ）=

∴0＜ ＜

【解析】（1）（i）設(shè)C的方程： + =1（a＞b＞0），則 ，求出a，b，即可求C的方程；（ii）求出軌跡C1 ， 可得離心率相等，即可證明C1與C相似；（2）設(shè)直線方程為y=kx﹣3（k＞0），代入橢圓方程，求出相應(yīng)線段的長，可得 = 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定 的取值范圍．