Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x （a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若f（1）＜0，試判斷y=f（x）的單調(diào)性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，

可得f（0）=0，即a0﹣（m﹣2）a0=0，

即3﹣m=0，可得m=3

（2）解：f（1）＜0，即a﹣a﹣1＜0，

解得0＜a＜1．

由ax遞減，a﹣x遞增，

可得f（x）=ax﹣a﹣x在R上遞減，

不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，

即為不等式f（x2+tx）＜﹣f（4﹣x）=f（x﹣4），

即有x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，

則△=（t﹣1）2﹣16＜0，

解得﹣3＜t＜5．

即t的取值范圍是（﹣3，5）

（3）解：若f（1）= ，即a﹣a﹣1= ，

解得a=2．

則g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），

令t=2x﹣2﹣x，由x≥1可得t≥ ．

則函數(shù)y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，

且在[ ，+∞）遞增，

可得g（x）在[1，+∞）上的最小值為（ ﹣1）2+1=

【解析】（1）由題意可得f（0）=0，解方程可得m=3；（2）由f（1）＜0，可得0＜a＜1，判斷f（x）遞減，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0轉(zhuǎn)化為x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
由判別式小于0，解不等式即可得到t的范圍；（3）f（1）= ，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2x﹣2﹣x ， 由x≥1可得t≥ ．可得函數(shù)y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，運用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求最小值．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱才能正確解答此題．