Question

一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球,已知從袋中任意摸出1個(gè)球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球的概率是.
(1)若袋中共有10個(gè)球,
①求白球的個(gè)數(shù);
②從袋中任意摸出3個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.
(2)求證:從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)黑球的概率不大于,并指出袋中哪種顏色的球的個(gè)數(shù)最少.

Answer 1

(1) ①5 ②X的分布列為:

X	0	1	2	3
P

(2)見(jiàn)解析

(1)①記“從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球”為事件A,設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x,則
P(A)=1-=,得x=5或x=14(舍去).故白球有5個(gè).
②隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,3,
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=3)==.
故X的分布列為:

X	0	1	2	3
P

(2)設(shè)袋中有n個(gè)球,其中有y個(gè)黑球,
由題意得y=n,所以2y<n,2y≤n-1,故≤.
記“從袋中任意摸出2個(gè)球,至少有1個(gè)黑球”為事件B,
則P(B)=
=·+·+·
=+×≤+×=.
所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多,白球個(gè)數(shù)多于n,紅球的個(gè)數(shù)少于,故袋中紅球個(gè)數(shù)最少.
【方法技巧】隨機(jī)變量分布列的求法
(1)搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件,思考目標(biāo)事件如何用基本事件來(lái)表示,求出隨機(jī)變量所有可能的值.
(2)利用對(duì)立事件和互斥事件求出取每一個(gè)值時(shí)的概率,計(jì)算必須準(zhǔn)確無(wú)誤.
(3)注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求概率,確保正確后列出分布列.