【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸.
(1)確定a與b的關(guān)系;
(2)若a≥0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.
【答案】
(1)解:依題意得g(x)=lnx+ax2+bx,
則
由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸得:g'(1)=1+2a+b=0,
∴b=﹣2a﹣1
(2)解:由(1)得 .
∵函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
∴當(dāng)a=0時(shí), .
由g'(x)>0,得0<x<1,由g'(x)<0,得x>1,
當(dāng)a>0時(shí),令g'(x)=0,得x=1或 ,
若 ,即 ,
由g'(x)>0,得x>1或 ,
由g'(x)<0,得 ;
若 ,即 ,
由g'(x)>0,得 或0<x<1,
由g'(x)<0,得
若 ,即 ,在(0,+∞)上恒有g(shù)'(x)≥0
綜上可得:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng) 時(shí),函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí),函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí),函數(shù)g(x)在 上單調(diào)遞增,
在 上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線與x軸平行,推出結(jié)果.(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)g(x)的定義域,通過當(dāng)a=0時(shí),當(dāng)a>0時(shí),分別求解函數(shù)的極值點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李老師騎自行車上班,最初以某一速度勻速行進(jìn),中途由于自行車發(fā)生故障,停下修車耽誤了幾分鐘,為了按時(shí)到校,李老師加快了速度,仍保持勻速行進(jìn),結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到校,在課堂上,李老師請(qǐng)學(xué)生畫出自行車行進(jìn)路程s(千米)與行進(jìn)時(shí)間x(秒)的函數(shù)圖象的示意圖,你認(rèn)為正確的是
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖C,D是以AB為直徑的圓上的兩點(diǎn),,F是AB上的一點(diǎn),且,將圓沿AB折起,使點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD上,已知
(1)求證:AD平面BCE
(2)求證:AD//平面CEF;
(3)求三棱錐A-CFD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù).
⑴若的定義域?yàn)?/span>,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
⑵當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
⑶是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)、,使得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>,若存在,求出、的值;若不存在,則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合=冪函數(shù)=的圖象不過原點(diǎn),則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為
A. 1 B. 2 C. 3 D. 無數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)= .
(1)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)是奇函數(shù)?并說明理由;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0,則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是( )
A.x∈R,f(x)≤f(x0)
B.x∈R,f(x)≥f(x0)
C.x∈R,f(x)≤f(x0)
D.x∈R,f(x)≥f(x0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}滿足(1﹣a1008)5+2016(1﹣a1008)=1,(1﹣a1009)5+2016(1﹣a1009)=﹣1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn , 則( )
A.S2016=2016,a1008>a1009
B.S2016=﹣2016,a1008>a1009
C.S2016=2016,a1008<a1009
D.S2016=﹣2016,a1008<a1009
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與圓
(1)若直線與圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn),求的最小值;
(2)直線上是否存在點(diǎn),滿足經(jīng)過點(diǎn)有無數(shù)對(duì)互相垂直的直線和,它們分別與圓和圓相交,并且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)等于直線被圓所截得的弦長(zhǎng)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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