Question

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x²+bx(a≠0).

(1)若a=-2時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;

(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)φ(x)=e^2x+be^x,x∈［0,ln2］,求函數(shù)φ(x)的最小值;

(3)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C₁與函數(shù)g(x)的圖象C₂交于P、Q,過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)M、N,問是否存在點(diǎn)R,使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解:(1)依題意:h(x)=lnx+x²-bx.∵h(yuǎn)(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),

∴h(x)=+2x-b≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.

∴b≤+2x.∵x＞0,則+2x≥2.∴b的取值范圍為(-∞,2］.

(2)設(shè)t=e^x,則函數(shù)化為y=t²+bt,t∈［1,2］.∵y=(t+)²,

∴當(dāng)≤1,即-2≤b≤2時(shí),函數(shù)y在［1,2］上為增函數(shù).

當(dāng)t=1時(shí),y_min=b+1.

當(dāng)1＜＜2,即-4＜b＜-2時(shí),當(dāng)t=時(shí),y_min=;

當(dāng)≥2,即b≤-4時(shí),函數(shù)y在［1,2］上為減函數(shù),

當(dāng)t=2時(shí),y_min=4+2b.

綜上所述,當(dāng)-2≤b≤2時(shí),φ(x)的最小值為b+1.

當(dāng)-4＜b＜-2時(shí),φ(x)的最小值為.當(dāng)b≤-4時(shí),φ(x)的最小值為4+2b.

(3)設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是(x₁,y₁),(x₂,y₂),且0＜x₁＜x₂.

則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為x=.C₁在點(diǎn)M處的切線斜率為k₁=.

C₂在點(diǎn)N處的切線斜率為k₂=+b.

假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行,則k₁=k₂,

即=+b.則=+b(x₂-x₁)

=(x₂²+bx₂)-(x₁²+bx₁)=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁=ln.∴l(xiāng)n==.

設(shè)u=＞1,則lnu=,u＞1.①

令r(u)=lnu,u＞1.則r′(u)=.∵u＞1,∴r′(u)＞0.

∴r(u)在［1,+∞)上單調(diào)遞增,故r(u)＞r(1)=0.

則lnu＞.這與①矛盾,假設(shè)不成立.

故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行.