已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
分析：（I）對函數(shù)求導，求出當自變量等于2時的函數(shù)值，求出函數(shù)在這一點的切線的斜率，根據(jù)點斜式寫出切線的方．
（II）根據(jù)上一問做出的函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導．使得導數(shù)等于0，做出函數(shù)的隨x的變化，f（x），f′（x）的變化情況，看出函數(shù)的最值，得到要求的結(jié)果
解答：解：（I）∵f′(x)=x-
a
x

∴f′(2)=2-
a
2
=1，a=2，
∴f(x)=
1
2
x2-2lnx，f（2）=2-2ln2
∵點P（2，f（2））在y=x+b上，
∴b=2，
l：y=x-2ln2
（II）由（I）知f(x)=
1
2
x2-2lnx，
f′(x)=x-
2
x
=
(x-
2
)(x+
2
)
x
，
當f′（x）=0時，x=
2

∴隨x的變化，f（x），f′（x）的變化如下：
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由表可知當x∈[
1
e
，e]時，函數(shù)的最大值為2+
1
2e2

∴k＞2+
1
2e2
點評：本題考查導數(shù)的應用，是一個基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是能夠正確寫出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和求出最值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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