Question

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為V（單位：m³），表面積為S（單位：m²）．

（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當(dāng)木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

Answer 1

(1)；(2)；（3）是.

解析試題分析：（1）本題求直四棱柱的體積，關(guān)鍵是求底面面積，我們要用底面半徑1和表示出等腰梯形的上底和高，從圖形中可知高為，而，因此面積易求，體積也可得出；（2）我們在（1）中求出，這里的最大值可利用導(dǎo)數(shù)知識求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的兩邊的正負(fù)性，確定是最大值點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上對應(yīng)用題來講，導(dǎo)數(shù)值為0的那個唯一點(diǎn)就是要求的極值點(diǎn)）；（3），上（2）我們可能把木梁的表面積用表示出來，，由于在體積中出現(xiàn)，因此我們可求的最大值，這里可不用導(dǎo)數(shù)來求，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/49/e/7qrxz.png" style="vertical-align:middle;" />
，可借助二次函數(shù)知識求得最大值，如果這里取最大值時的和取最大值的取值相同，則結(jié)論就是肯定的.
試題解析：（1）梯形的面積
=，．       2分
體積．       3分
（2）．
令，得，或（舍）．
∵，∴．       5分
當(dāng)時，，為增函數(shù)；
當(dāng)時，，為減函數(shù)．       7分
∴當(dāng)時，體積V最大．       8分
（3）木梁的側(cè)面積=，．
=，．       10分
設(shè)，．∵，
∴當(dāng)，即時，最大．       12分
又由（2）知時，取得最大值，
所以時，木梁的表面積S最大．       13分
綜上，當(dāng)木梁的體積V最大時，其表面積S也最大．       14分
考點(diǎn)：（1）函數(shù)解析式；（2）用導(dǎo)數(shù)求最值；（3）四棱柱的表面積及其最值.