Question

已知x≥3，則y=x-

1

1-x

的最小值為（　　）

• A、2
• B、

  7

  2

• C、2

  2

• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將函數(shù)化成對鉤函數(shù)的形式，再確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值．也可以利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：法一  y=x-

1

1-x

=(x-1)+

1

x-1

+1，由對鉤函數(shù)y=x+

1

x

在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增可知，當(dāng)x≥3時，(x-1)+

1

x-1

≥2+

1

2

=

5

2

，
∴y=x-

1

1-x

≥

7

2

，
∴當(dāng)x=3時，y=x-

1

1-x

取得最小值

7

2

，
故選B．
 法二   利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性．
 y′=1-

1

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，當(dāng)x≥3時，y′＞0，∴y=x-

1

1-x

在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=3時，y=x-

1

1-x

取得最小值

7

2

，
故選B．

點評：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，確定函數(shù)的單調(diào)性可以用一些特殊函數(shù)（對鉤函數(shù)）的單調(diào)性，也可以利用導(dǎo)數(shù)．