Question

（16分）已知A（-1，2）為拋物線(xiàn)C：y=2x²上的點(diǎn)，直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)A且與拋物線(xiàn)C相切，直線(xiàn)l₂:x=a(a＜-1)交拋物線(xiàn)C 于點(diǎn)B，交直線(xiàn)l₁于點(diǎn)D.
（1）求直線(xiàn)l₁的方程；
（2）求△ABD的面積S₁；
（3）求由拋物線(xiàn)C及直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)l₂所圍成的圖形面積S₂.

Answer 1

（1）4x+y+2=0（2）-(a+1)³（3）-a³-2a²-2a-

（1）由條件知點(diǎn)A（-1，2）為直線(xiàn)l₁與拋物線(xiàn)C的切點(diǎn)，∵y′=4x,∴直線(xiàn)l₁的斜率k=-4,

∴直線(xiàn)l₁的方程為y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.
(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，2），
由條件可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，2a²），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，-4a-2），
∴△ABD的面積S₁為
S₁=×|2a²-(-4a-2)|×|-1-a|
=|(a+1)³|=-(a+1)³.
(3)直線(xiàn)l₁的方程可化為y=-4x-2,
S₂=［2x²-(-4x-2)］dx=(2x²+4x+2)dx
=[2(x³+x²+x)]| =--2(a³+a²+a)
=-a³-2a²-2a-.