【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，記的極小值為，證明：.

【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間；當(dāng)時，遞增區(qū)間，遞減區(qū)間； （2）證明見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）可知，取得，把，轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，

則，

①當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上可得：

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間.

（2）由（1）可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，

極小值為，

要證：，只需證：，只需證：，

即，

設(shè)，則，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，

即當(dāng)時，，即，

所以.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標(biāo)軸，弦的中點為，過且垂直于線段的直線交射線于點．

（1）證明：點在定直線上；

（2）當(dāng)最大時，求的面積．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）若直線平行于直線，且與曲線只有一個公共點，求直線的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，，求的面積．

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極坐標(biāo)系的極點在平面直角坐標(biāo)系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，且長度單位相同；曲線 的方程是，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），設(shè)， 直線與曲線交于 兩點．

（1）當(dāng)時，求的長度；

（2）求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，設(shè)曲線在點處的切線與圓相切．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)在上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為．當(dāng)時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“類對稱點”．當(dāng)時，是否存在“類對稱點”？若存在，請求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某種氣墊船的最大航速是海里小時，船每小時使用的燃料費用和船速的平方成正比.若船速為海里小時,則船每小時的燃料費用為元，其余費用(不論船速為多少)都是每小時元。甲乙兩地相距海里，船從甲地勻速航行到乙地.

(1)試把船從甲地到乙地所需的總費用，表示為船速(海里小時)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域;

(2)當(dāng)船速為每小時多少海里時，船從甲地到乙地所需的總費用最少?最少費用為多少元?

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【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證：

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【題目】如圖所示，為了測量A、B處島嶼的距離，小海在D處觀測，A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西45°方向，則A、B兩島嶼的距高為___________海里.

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