Question

【題目】已知的三邊長分別為,,,M是AB邊上的點,P是平面ABC外一點.給出下列四個命題：①若平面ABC,則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若平面ABC,且M是邊AB的中點,則有；③若,平面ABC,則面積的最小值為；④若,P在平面ABC上的射影是內(nèi)切圓的圓心,則點P到平面ABC的距離為.其中正確命題的序號是________.（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①:利用勾股定理及逆定理和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可以判斷本命題的真假；

②：根據(jù)直角三角形斜邊的性質(zhì)和勾股定理可以判斷出本命題的真假；

③：利用面積公式和勾股定理可以判斷出本命題的真假；

④：利用直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及勾股定理可以判斷出本命題的真假；

因為,,,所以,即

①：由上可知： 是直角三角形. 平面ABC,而平面ABC,因此

,所以是直角三角形.因為

平面,所以平面,而

平面,所以,因此是直角三角形,故本命題是真命題；

②：因為是以為斜邊的直角三角形, M是邊AB的中點,所以,

又平面ABC, 平面ABC,所以,由勾股定理可知：

,而,

所以,故本命題是真命題；

③：,當最小時,面積有最小值,所以當

時,此時,所以面積最小值為6,故本命題是假命題；

④：由內(nèi)切圓關徑公式可知：內(nèi)切圓的半徑,故,設P在平面ABC上的射影是內(nèi)切圓的圓心為O,因此有,

所以,所以點P到平面ABC的距離為.故本命題是真命題；

故答案為：①②④