【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)（介于，兩點(diǎn)之間）.

（i）求證：；

（ii）是否存在直線，使得直線、、、的斜率按某種順序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）（i）見(jiàn)解析（ii）

【解析】試題分析：

（1）設(shè)，由題意可得，所以. 結(jié)合橢圓的定義可得. 則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）(ⅰ)設(shè)方程為，與聯(lián)立可得. 則的斜率是.

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得 ，和中，由正弦定理得，，結(jié)合幾何關(guān)系可得成立.

(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.假設(shè)存在直線，滿足題意.不妨設(shè)，，若按某種排序構(gòu)成等比數(shù)列，則，則，此時(shí)直線與平行或重合，與題意不符，則不存在直線滿足題意.

試題解析：

（1）設(shè)，

則=，所以.

因?yàn)?/span>=4，所以.

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）(ⅰ)設(shè)方程為，與聯(lián)立，消得

, 由題意知，解得.

因?yàn)橹本�與的傾斜角互補(bǔ)，所以的斜率是.

設(shè)直線方程：，，聯(lián)立，整理得，由，得，，；

直線、的斜率之和

所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即，

在和中，由正弦定理得

，，

又因?yàn)?/span>，

所以

故成立.

(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.

假設(shè)存在直線，滿足題意.不妨設(shè)，，若按某種排序構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則或或.

所以，則，此時(shí)直線與平行或重合，與題意不符，

故不存在直線，滿足題意.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)的直線l： (t為參數(shù))與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為的菱形， 底面， ，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次方程．

Ⅰ若a是從區(qū)間中任取的一個(gè)整數(shù)，b是從區(qū)間中任取的一個(gè)整數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Ⅱ若a是從區(qū)間任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，b是從區(qū)間任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如表所示．

組號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

第2組

a

第3組

30

b

第4組

20

第5組

10

合計(jì)

100

Ⅰ求出頻率分布表中a，b的值，再在答題紙上完成頻率分布直方圖；

Ⅱ根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本成績(jī)的中位數(shù)；

Ⅲ高校決定在筆試成績(jī)較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，再?gòu)?名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生由A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】黑板上寫(xiě)有,1，2，…，666，這666個(gè)正整數(shù)，第一步劃去最前面的八個(gè)數(shù)：1，2，…，8，,并在666后面寫(xiě)上1，2，…，8的和36；第二步再劃去最前面的八個(gè)數(shù)：9，10，…，16，并在最后面寫(xiě)上9，10，…，16的和100；如此繼續(xù)下去（即每一步劃去最前面的八個(gè)數(shù)，并在最后寫(xiě)上劃去的八個(gè)數(shù)的和）.

（1）問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少步后，黑板上只剩下一個(gè)數(shù)？

（2）當(dāng)黑板上只剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，求出在黑板上出現(xiàn)過(guò)的所有數(shù)的和（如果一個(gè)數(shù)多次出現(xiàn)需重復(fù)計(jì)算）.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, ,平面底面, 為中點(diǎn), 是棱上的點(diǎn), .

（Ⅰ）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證: 平面;

（Ⅱ）求證:平面平面;

（Ⅲ）若二面角為,設(shè),試確定的值.

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【題目】時(shí)下，租車(chē)已經(jīng)成為新一代的流行詞，租車(chē)自駕游也慢慢流行起來(lái)，某小車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是，不超過(guò)2天按照300元計(jì)算；超過(guò)兩天的部分每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為100元（不足1天的部分按1天計(jì)算）．有甲乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)自駕游（各租一車(chē)一次），設(shè)甲、乙不超過(guò)2天還車(chē)的概率分別為；2天以上且不超過(guò)3天還車(chē)的概率分別；兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)4天．

（1）求甲所付租車(chē)費(fèi)用大于乙所付租車(chē)費(fèi)用的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；

(2)若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方．

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