Question

如圖，已知在正方體ABCD—A′B′C′D′中，面對(duì)角線(xiàn)AB′、BC′上分別有兩點(diǎn)E、F,且B′E=C′F,

求證：(1)EF∥平面ABCD；

(2)平面ACD′∥平面A′BC′.

Answer 1

思路解析：對(duì)于第(1)問(wèn),證明直線(xiàn)與平面平行可以從線(xiàn)線(xiàn)平行入手,也可以從面面平行入手來(lái)證.而對(duì)于第(2)問(wèn),一般可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行.

(1)證法一：(由線(xiàn)線(xiàn)平行證線(xiàn)面平行)

過(guò)點(diǎn)E、F分別作AB、BC的垂線(xiàn)EM、FN分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，連結(jié)MN.

∵BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AB，BB′⊥BC.

∴EM∥BB′，FN∥BB′.∴EM∥FN.

∵AB′=BC′，B′E=C′F，∴AE=BF.

又∠B′AB=∠C′BC=45°,∴Rt△AME≌Rt△BNF.

∴EM=FN,四邊形MNFE是平行四邊形.

∴EF∥MN.又MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.

證法二：(由面面平行證線(xiàn)面平行)

過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB交BB′于點(diǎn)G，連結(jié)GF.∴

∵B′E=C′F，B′A=C′B,∴.∴FG∥B′C∥BC.

又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD.

又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.

(2)證明：(由線(xiàn)線(xiàn)平行證面面平行)

如圖9-3-18，∵在正方體ABCD—A′B′C′D′中，AD′∥BC′，CD′∥BA′,

又AD′∩CD′=D′，BC′∩BA′=B，∴平面ACD′∥平面A′BC′.

方法歸納  一般來(lái)說(shuō)，線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系、面面關(guān)系都轉(zhuǎn)化為由線(xiàn)面關(guān)系來(lái)分析解決.該題證明線(xiàn)面平行用了兩種證法.證法一利用了線(xiàn)面平行的判定定理，即由線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)證明線(xiàn)面平行;證法二利用了面面平行的性質(zhì)定理，即由面面平行證明線(xiàn)面平行.