Question

【題目】已知向量 =（sinx，cosx）， =（sin（x﹣ ），sinx），函數(shù)f（x）=2 ，g（x）=f（ ）．
（1）求f（x）在[ ，π]上的最值，并求出相應(yīng)的x的值；
（2）計算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；
（3）已知t∈R，討論g（x）在[t，t+2]上零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2 =2sinxsin（x﹣ ）+2sinxcosx= sin2x+ sin2x

= sin2x﹣ cos2x+ =sin（2x﹣ ）+ ，

∵x∈[ ，π]，∴ ≤2x﹣ ≤ ，

∴﹣1≤sin（2x﹣ ）≤ ，f（x）最小值為 ﹣1，f（x）最大值為

（2）解：由（1）得，f（x）=sin（2x﹣ ）+ ．∴g（x）=f（ ）=sin（ x﹣ ）+ ．T=4，

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．

g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2 ，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×2 +

g（1）+g（2）

=1006 + =

（3）解：g（x）在[t，t+2]上零點的個數(shù)等價于y=sin（ x﹣ ）與y=﹣ 兩圖象交點個數(shù)．

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個數(shù)的圖象．

當(dāng)4k＜t＜ +4k，k∈Z時，由圖象可知，y=sin（ x﹣ ）與y=﹣ 兩圖象無交點，g（x）無零點

當(dāng) +4k≤t＜2+4k或 +4k＜t≤4+4k時，y=sin（ x﹣ ）與y=﹣ 兩圖象1個交點，g（x）1個零點

當(dāng)2+4k≤t≤ +4k時，y=sin（ x﹣ ）與y=﹣ 兩圖象2個交點，g（x）2個零點

【解析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，再利用三角函數(shù)公式化f（x）為含一個角的一種三角函數(shù)形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．（2）由（1）得，g（x）=f（ ）=sin（ x﹣ ）+ ．注意到T=4，利用分組方法求和．（3）g（x）在[t，t+2]上零點的個數(shù)等價于y=sin（ x﹣ ）與y=﹣ 兩圖象交點個數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行討論．