Question

【題目】如圖,在矩形ABCD中, ,點(diǎn)E,H分別是所在邊靠近B,D的三等分點(diǎn),現(xiàn)沿著EH將矩形折成直二面角,分別連接AD,AC,CB,形成如圖所示的多面體.

(1)證明:平面BCE∥平面ADH;

(2)證明:EH⊥AC;

(3)求二面角B-AC-D的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊前、后不變量得AH∥BE,DH∥EC,根據(jù)線面平行判定定理得AH∥平面BCE,DH∥平面BCE,再根據(jù)面面平行判定定理得平面BCE∥平面ADH.（2）先過點(diǎn)A作EH的垂線交EH于點(diǎn)O，由面面垂直性質(zhì)定理得AO⊥平面EHC，再由直二面角定義得CO⊥EH,因此根據(jù)線面垂直判定定理得EH⊥平面AOC,即得EH⊥AC.（3）根據(jù)條件作出二面角B-AC-O平面角BQP，并根據(jù)直角三角形求出，最后根據(jù)二面角B-AC-D的平面角為BQP，并利用二倍角余弦公式求值.

試題解析：(1)證明:由折疊前、后圖形對比可知,在矩形ABCD中有AH∥BE,DH∥EC,

又∵AH∩DH=H,BE∩CE=E,∴平面BCE∥平面ADH.

(2)證明:在多面體中,過點(diǎn)A作EH的垂線交EH于點(diǎn)O,連接OC.

∵二面角A-EH-C為直二面角,∴AO⊥平面EHC.

由對稱性可知CO⊥EH,又AO∩CO=O.

∴EH⊥平面AOC,而平面AOC,∴EH⊥AC.

(3)解:過點(diǎn)B在平面ABEH內(nèi)作BP⊥AO垂足為P,過點(diǎn)P在平面AOC內(nèi)作PQ⊥AC垂足為Q,連接BQ.∵△ABO是邊長為3的等邊三角形,∴點(diǎn)P為中點(diǎn), .

∵△AOC是直角邊長為3的等腰直角三角形,∴.

又∵CO⊥平面ABEH,∴CO⊥BP,BP⊥AO,AO∩CO=O,∴BP⊥平面AOC.

∴BQP為二面角B-AC-O的平面角,在直角三角形BPQ中,

∴.

設(shè)二面角B-AC-D的平面角為,∴.

所以二面角B-AC-D的平面角的余弦值為.