Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，若在區(qū)間[﹣1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

A．	B．
C．	D．

Answer 1

C

解析試題分析：根據(jù)f（x+1）=﹣f（x），可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，可得函數(shù)在[﹣1，3]上的解析式．根據(jù)題意可得
函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y="kx+k" 有4個交點，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)k的取值范圍．
∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期為2的周期函數(shù)．再由f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，
可得當x∈[﹣1，0]時，f（x）=x²，故當x∈[﹣1，1]時，f（x）=x²，當x∈[1，3]時，f（x）=（x﹣2）²．
由于函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4個零點，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y="kx+k" 有4個交點，如圖所示：
把點（3，1）代入y=kx+k，可得k=，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)k的取值范圍是 （0，]，
故選C．

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷
點評：本題主要考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題