Question

【題目】已知函f（x）=ax2﹣ex（a∈R）． （Ⅰ）a=1時，試判斷f（x）的單調(diào)性并給予證明；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）．
（i） 求實數(shù)a的取值范圍；
（ii）證明：﹣ ． （注：e是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x2﹣ex ， f（x）在R上單調(diào)遞減． 事實上，要證f′（x）=x2﹣ex在R上為減函數(shù)，只要證明f′（x）≤0對x∈R恒成立即可，
設(shè)g（x）=f′（x）=2x﹣ex ， 則g′（x）=2﹣ex ，
當(dāng)x=ln2時，g′（x）=0，
當(dāng)x∈（﹣∞，ln2）時，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（ln2，+∞）時，g′（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在（﹣∞，ln2）上為增函數(shù)，在（ln2，+∞）上為減函數(shù)．
∴f′（x）max=g（x）max=g（ln2）=2ln2﹣2＜0，故f′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2﹣ex ， 所以，f′（x）=2ax﹣ex ．
若f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 則x1 ， x2是方程f′（x）=0的兩個根，
故方程2ax﹣ex=0有兩個根x1 ， x2 ，
又因為x=0顯然不是該方程的根，所以方程 有兩個根，
設(shè) ，得 ．
若x＜0時，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
若x＞0時，h（x）＞0．
當(dāng)0＜x＜1時h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
要使方程 有兩個根，需2a＞h（1）=e，故 且0＜x1＜1＜x2 ．
故a的取值范圍為 ．
（ii）證明：由f′（x1）=0，得： ，故 ，x1∈（0，1）
= ，x1∈（0，1）
設(shè)s（t）= （0＜t＜1），則 ，s（t）在（0，1）上單調(diào)遞減
故s（1）＜s（t）＜s（0），即
【解析】（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo)后，求出導(dǎo)函數(shù)的最大值，得到導(dǎo)函數(shù)的最大值小于0，從而得到原函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)；（Ⅱ）（i）把函數(shù)f（x）=ax2﹣ex有兩個極值點轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2ax﹣ex有兩個根，分離變量a后分析右側(cè)函數(shù) 的單調(diào)性，該函數(shù)先減后增有極小值，然后根據(jù)圖象的交點情況得到a的范圍；（ii）由x1是原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的根，把x1代入導(dǎo)函數(shù)解析式，用x1表示a，然后把f（x1）的表達式中的a替換，得到關(guān)于x1的函數(shù)式后再利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而得到要征得結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．