Question

已知兩點F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），且點P到這兩點的距離和等于6．
（1）求以F₁，F(xiàn)₂為焦點，且過點P的橢圓方程；
（2）設(shè)點P（0，3），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，P關(guān)于直線y=x的對稱點分別為P'，，，求以，為焦點，且過點P′的雙曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出所求的橢圓的標準方程，然后橢圓定義，得2a，c，再求出b．最后寫出橢圓標準方程．
（2）根據(jù)三個已知點的坐標，求出關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點，設(shè)出所求雙曲線標準方程，代入求解即可．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為，
由橢圓定義，得2a=|PF₁|+|PF₂|=6，c=2，所以，b²=a²-c²=5．
所以，橢圓的方程為．…（5分）
（2）因為點P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線y=x的對稱點分別為P'（3，0），，，
設(shè)雙曲線的方程為，
由雙曲線定義，得2a=||P'F'₁|-|P'F'₂||=4，，
所以，b²=c²-a²=10．
所以，雙曲線的方程為 ．…（10分）
點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力．屬于中檔題．