Question

已知兩點(diǎn)F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），且點(diǎn)P到這兩點(diǎn)的距離和等于6．
（1）求以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，3），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，P關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P'，

F

′ 1

，F2′，求以

F

′ 1

，F2′為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P′的雙曲線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后橢圓定義，得2a，c，再求出b．最后寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，設(shè)出所求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，代入求解即可．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由橢圓定義，得2a=|PF₁|+|PF₂|=6，c=2，所以，b²=a²-c²=5．
所以，橢圓的方程為

y2

9

+

x2

5

=1．…（5分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，
設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由雙曲線(xiàn)定義，得2a=||P'F'₁|-|P'F'₂||=4，c=

14

，
所以，b²=c²-a²=10．
所以，雙曲線(xiàn)的方程為 

x2

4

-

y2

10

=1．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線(xiàn)的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力．屬于中檔題．