【題目】已知中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓的一個頂點坐標(biāo)為(2,0),離心率為

(1)求橢圓的方程;
(2)若A(0,1),設(shè)M,N是橢圓上異于點A的任意兩點,且AM⊥AN,線段MN的中垂線l與x軸的交點為(m,0),求m的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的方程為 + =1(a>b>0),

可得a=2,e= = ,解得c=

b= =1,

即有橢圓的方程為 +y2=1;


(2)解:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點的橫坐標(biāo)為

由直線y=kx+t代入橢圓方程x2+4y2=4,可得

(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,

△=64k2t2﹣16(1+4k2)(4t2﹣4)>0,即1+4k2>t2,

x1+x2=﹣ ,x1x2=

可得MN的中點坐標(biāo)為(﹣ , ),

中垂線方程為y﹣ =﹣ (x﹣ ),

令y=0,可得x=m=﹣

由AM⊥AN,可得 =﹣1,

即為(1+k2)x1x2+(t﹣1)2+k(t﹣1)(x1+x2)=0,

化為(1+k2)(4t2﹣4)+(t﹣1)2(1+4k2)+4(t﹣1)(﹣8kt)=0,

解得t=1或﹣ ,顯然滿足判別式大于0.

即有m=﹣ ,

當(dāng)k=0時,m=0;

當(dāng)k>0時,m= ≥﹣ =﹣ ,即為﹣ ≤m<0;

或m= = = ,即為0<m≤ ;

同樣當(dāng)k<0時,可得0<m≤ 或﹣ ≤m<0.

綜上可得m的范圍是[﹣ , ]∪[﹣ ]


【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為 + =1(a>b>0),運用離心率公式,以及a,b,c的關(guān)系,可得b,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)M(x1 , y1),N(x2 , y2),MN的中點的橫坐標(biāo)為 ,由直線y=kx+t代入橢圓方程x2+4y2=4,可得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,運用判別式大于0和韋達(dá)定理,結(jié)合兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,由基本不等式可得最值,進(jìn)而得到所求范圍.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】2012年中華人民共和國環(huán)境保護(hù)部批準(zhǔn)《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》為國家環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),該標(biāo)準(zhǔn)增設(shè)和調(diào)整了顆粒物、二氧化氮、鉛、笨等的濃度限值,并從2016年1月1日起在全國實施.空氣質(zhì)量的好壞由空氣質(zhì)量指數(shù)確定,空氣質(zhì)量指數(shù)越高,代表空氣污染越嚴(yán)重,某市對市轄的某兩個區(qū)加大了對空氣質(zhì)量的治理力度,從2015年11月1日起監(jiān)測了100天的空氣質(zhì)量指數(shù),并按照空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為:指標(biāo)小于或等于115為通過,并引進(jìn)項目投資.大于115為未通過,并進(jìn)行治理.現(xiàn)統(tǒng)計如下.

空氣質(zhì)量指數(shù)

(0,35]

[35,75]

(75,115]

(115,150]

(150,250]

>250

空氣質(zhì)量類別

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

甲區(qū)天數(shù)

13

20

42

20

3

2

乙區(qū)天數(shù)

8

32

40

16

2

2


(1)以頻率值作為概率值,求甲區(qū)和乙區(qū)通過監(jiān)測的概率;
(2)對于甲區(qū),若通過,引進(jìn)項目可增加稅收40(百萬元),若沒通過監(jiān)測,則治理花費5(百萬元);對于乙,若通過,引進(jìn)項目可增加稅收50(百萬元),若沒通過監(jiān)測,則治理花費10(百萬元)..在(1)的前提下,記X為通過監(jiān)測,引進(jìn)項目增加的稅收總額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(1)求證:AC是∠DAB的平分線;
(2)求證:OF∥AG.

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【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解,則實數(shù)a的值為( )
A.1
B.
C.
D.

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(1)估計在40名廣場舞者中年齡分布在[40,70)的人數(shù);
(2)求40名廣場舞者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)的估計值;
(3)若從年齡在[20,40)中的廣場舞者中任取2名,求這兩名廣場舞者年齡在[30,40)中的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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