已知函數(shù)f（x）=log2
1-x
1+x
．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=log2（x-k）有實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）問：方程f（x）=x+1是否有實(shí)根？如果有，設(shè)為x0，請(qǐng)求出一個(gè)長度為
1
8
的區(qū)間（a，b），使x0∈（a，b）；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f（-x），利用
1+x
1-x
=（
1-x
1+x
） -1可得f（-x）=-f（x），從而得到函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）方程f（x）=log2（x-k）有實(shí)根，也就是方程
1-x
1+x
=x-k即k=x-
1-x
1+x
在（-1，1）內(nèi)有解，從而得出實(shí)數(shù)k屬于函數(shù)y=x-
1-x
1+x
=x+1-
2
1+x
在（-1，1）內(nèi)的值域．下面利用換元法求出其值域即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-x-1=log2
1-x
1+x
-x-1（-1＜x＜1）．用“二分法”逐步探求，先算區(qū)間（-1，1）的中點(diǎn)g（0）=-1＜0，由于g（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，于是再算區(qū)間（-1，0）的中點(diǎn)g（-
1
2
）=log23-
1
2
＞0，然后算區(qū)間（-
1
2
，0）的中點(diǎn) g（-
1
4
）＜0，最后算區(qū)間（-
1
2
，-
1
4
）的中點(diǎn)g（-
3
8
）＞0．
解答：解：（1）由
1-x
1+x
＞0得-1＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；              （2'）
因?yàn)閒（-x）+f（x）=log2
1+x
1-x
+log2
1-x
1+x
=log2
1+x
1-x
•
1-x
1+x
=log21=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)．                                       （4'）
（2）方程f（x）=log2（x-k）有實(shí)根，也就是方程
1-x
1+x
=x-k即k=x-
1-x
1+x
在（-1，1）內(nèi)有解，
所以實(shí)數(shù)k屬于函數(shù)y=x-
1-x
1+x
=x+1-
2
1+x
在（-1，1）內(nèi)的值域．                  （6'）
令x+1=t，則t∈（0，2），因?yàn)閥=t-
2
t
在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，所以t-
2
t
∈（-∞，1）．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1）．                                            （8'）
（3）設(shè)g（x）=f（x）-x-1=log2
1-x
1+x
-x-1（-1＜x＜1）．
因?yàn)?span id="xcehavc" class="MathJye">(
5
3
)4=
625
81
＜8=23，且y=log2x在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以log2(
5
3
)4＜log223，
即4log2
5
3
＜3，亦即log2
5
3
＜
3
4
．
于是g（-
1
4
）=log2
5
3
-
3
4
＜0．                 ①（10'）
又∵g（-
3
8
）=log2
11
5
-
5
8
＞1-
5
8
＞0．                                    ②（12'）
由①②可知，g（-
1
4
）•g（-
3
8
）＜0，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（-
3
8
，-
1
4
）內(nèi)有零點(diǎn)x0．
即方程f（x）=x+1在（-
3
8
，-
1
4
）內(nèi)有實(shí)根x0．                                  （13'）
又該區(qū)間長度為
1
8
，因此，所求的一個(gè)區(qū)間可以是（-
3
8
，-
1
4
）．（答案不唯一）      （14'）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，二分法，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．屬于對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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