【題目】多面體中,△為等邊三角形,△為等腰直角三角形,平面,平面.
(1)求證:;
(2)若,,求平面與平面所成的較小的二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)利用線面平行的性質(zhì)定理,分別證得和,即可證;
(2)分別證得兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.
解:(1)證明:因?yàn)?/span>平面,
平面,平面平面,
所以,
同理可證,,
所以.
(2)因?yàn)椤?/span>為等腰直角三角形,,所以,,
又,,所以四邊形為平行四邊形,
所以,
因?yàn)椤?/span>為等邊三角形,所以,
取的中點(diǎn),連結(jié)、,
因?yàn)?/span>,則,
又,且,
所以四邊形為平行四邊形,
所以,
在中,,
所以,即,進(jìn)而,
同理可證,進(jìn)而,
以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,令,則,,
所以,
易知平面的一個(gè)法向量為,
,
所以平面與平面所成的較小的二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱中,平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,,.
(1)若,求證://平面;
(2)若,且三棱錐的體積為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】盲盒里面通常裝的是動(dòng)漫、影視作品的周邊,或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來(lái)的玩偶.由于盒子上沒(méi)有標(biāo)注,購(gòu)買者只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買到了什么,因此這種驚喜吸引了眾多年輕人,形成了“盲盒經(jīng)濟(jì)”.某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶的、、三種樣式,且每個(gè)盲盒只裝一個(gè).
(1)若每個(gè)盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同.某同學(xué)已經(jīng)有了樣式的玩偶,若他再購(gòu)買兩個(gè)這款盲盒,恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少?
(2)某銷售網(wǎng)點(diǎn)為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度,隨機(jī)發(fā)放了200份問(wèn)卷,并全部收回.經(jīng)統(tǒng)計(jì),有的人購(gòu)買了該款盲盒,在這些購(gòu)買者當(dāng)中,女生占;而在未購(gòu)買者當(dāng)中,男生女生各占.請(qǐng)根據(jù)以上信息填寫(xiě)下表,并分析是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買該款盲盒與性別有關(guān)?
女生 | 男生 | 總計(jì) | |
購(gòu)買 | |||
未購(gòu)買 | |||
總計(jì) |
參考公式:,其中.
span>參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(3)該銷售網(wǎng)點(diǎn)已經(jīng)售賣該款盲盒6周,并記錄了銷售情況,如下表:
周數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
盒數(shù) | 16 | ______ | 23 | 25 | 26 |
由于電腦故障,第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失,該銷售網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用第1、3周數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
①請(qǐng)用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程;
(注:,)
②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2盒,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)①中所得的線性回歸方程是否可靠?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】謝爾賓斯三角形是一種分形,其具體操作是取一個(gè)實(shí)心的三角形沿三邊中點(diǎn)的連線,將它分成四個(gè)小三角形,去掉中間的那一個(gè)小三角形,然后對(duì)其余三個(gè)小三角形重復(fù)以上步驟,得到如下的系列圖稱之為謝爾賓斯:三角形.在第五個(gè)圖形中,若隨機(jī)的投入一個(gè)質(zhì)點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)落入“空白”處的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為F,A,過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P在第一象限內(nèi)),連結(jié)PA,QF.若,的面積是面積的3倍.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知M為線段PA的中點(diǎn),連結(jié)QA,QM.
①求證:Q,F,M三點(diǎn)共線;
②記直線QP,QM,QA的斜率分別為,,,若,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線的交點(diǎn)為、,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載:“芻(chú)甍(méng)者,下有袤有廣,而上有袤無(wú)廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”若芻甍的三視圖如圖所示,主視圖是上底為2,下底為4,高為1的等腰梯形,左視圖是底邊為2的等腰三角形,則該幾何體的體積為( ).
A.B.C.2D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若存在滿足,證明成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求與的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與的交點(diǎn)為、,與的交點(diǎn)為、,且,求值.
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