在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且
cosC
cosB
=
3a-c
b
，又b=
3
，則△ABC的面積的最大值
3
2
4
3
2
4
．
分析：利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0，得到cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，由b及cosB的值，利用余弦定理表示出關(guān)于a與c的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式及等式的性質(zhì)得到ac的最大值，由sinB及ac的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：根據(jù)正弦定理得：
3sinA-sinC
sinB
=
3a-c
b
，
又
cosC
cosB
=
3a-c
b
，
∴
cosC
cosB
=
3sinA-sinC
sinB
，即sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0，
∴cosB=
1
3
，又B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB=
1-cos2B
=
2
2
3
，
∵b=
3
，cosB=
1
3
，
∴根據(jù)余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-
2
3
ac，
又a2+c2≥2ac，即3+
2
3
ac≥2ac，
∴ac≤
9
4
，即ac的最大值為
9
4
，
則△ABC的面積的最大值S=
1
2
acsinB=
1
2
×
9
4
×
2
2
3
=
3
2
4
．
故答案為：
3
2
4
點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數(shù)列，且b=
3
，c=
2
，則B=
 
，A=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A為銳角，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，sinA=
2
2
3
．
（1）求tan2
B+C
2
+sin2
A
2
的值；
（2）若a=2
2
，S△ABC=
2
，求b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A、B、C對應(yīng)的三邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，則角C的大小等于
π
3
π
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A，B，C滿足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x2-λx+λ+1=0的兩根，若△ABC的面積為3+
3
，試求△ABC的三邊的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2+b2-c2=
3
ab．
（1）求角C的大小；
（2）如果0＜A≤
2π
3
，m=2cos2
A
2
-sinB-1，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案