【題目】橢圓C1 +y2=1,橢圓C2 (a>b>0)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0),斜率為1的直線l與橢圓C2相交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,﹣1).
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)P為橢圓C2上一點(diǎn),點(diǎn)M、N在橢圓C1上,且 ,則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)解:橢圓C2 =1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0),

則c= ,即有a2﹣b2=5,①

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 =1, =1,

兩式相減的, + =0,

由于x1+x2=4,y1+y2=﹣2,

則有kAB= = =1,②

由①②解得,a= ,b=

則橢圓C2的方程為 =1;


(2)解:設(shè)P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),

則 x02+2y02=10,x12+2y12=2,x22+2y22=2,

,

可得:(x0,y0)=(x1,y1)+2(x2,y2),

,

∴x02+2y02=(x1+2x22+2(y1+2y22

=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2

=10+4(x1x2+2y1y2)=10.

∴x1x2+2y1y2=0,

=﹣ ,即kOMkON=﹣

∴直線OM與直線ON的斜率之積為定值,且定值為﹣


【解析】(1)求出橢圓C2的c,設(shè)出A(x1 , 1),B(x2 , y2),代入橢圓方程,運(yùn)用點(diǎn)差法,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式,得到a,b的方程,解方程解得a,b,即可得到所求橢圓方程;(2)設(shè)P(x0 , y0),M(x1 , y1),N(x2 , y2),代入橢圓方程,再由向量的坐標(biāo)相等,得到方程,代入整理,即可得到x1x2+2y1y2=0,再由斜率公式,即可得到斜率之積為定值.

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