已知曲線y=ax3-bx（a≠0）上有兩個不同的點A、B，且過A、B兩點的切線都垂直于直線AB.

（1）試判斷A、B兩點是否關(guān)于原點對稱，并說明理由.

（2）求出a、b所滿足的條件.

解：（1）由y=ax3-bx,得y′=3ax2-b.?

設(shè)A、B兩點坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）（x1≠x2）.??

由題意,過A、B兩點的切線平行，

∴3ax12-b=3ax22-b，即x12=x22，由于x1≠x2,∴x1=-x2.?

又∵y1=ax13-bx1=-ax23+bx2=-（ax23-bx2）=-y2.?

∴A、B兩點關(guān)于原點對稱.

（2）由（1）知,直線AB必過原點,?

∴直線AB的斜率k==ax12-b.而過A的切線與直線AB垂直.

∴（3ax12-b）·（ax12-b）=-1,即3a2x14-4abx12+b2+1=0.?

令x12=t,則關(guān)于t的方程3a2t2-4abt+b2+1=0在（0,+∞）上有根.?

此方程有兩正根,其充要條件為:

4a2b2-3a2（1+b2）≥0且＞0,?

∴得ab＞0且 ｜b｜≥a＞0,b≥或a＜0,b≤-.

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（2011•門頭溝區(qū)一模）已知曲線y=ax3+bx2+cx+d滿足下列條件：
①過原點；②在x=0處導(dǎo)數(shù)為-1；③在x=1處切線方程為y=4x-3．
（Ⅰ） 求實數(shù)a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的極值．

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（1）試判斷A、B兩點是否關(guān)于原點對稱，并說明理由.

（2）求出a、b所滿足的條件.

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