Question

（2011•門(mén)頭溝區(qū)一模）已知曲線(xiàn)y=ax³+bx²+cx+d滿(mǎn)足下列條件：
①過(guò)原點(diǎn)；②在x=0處導(dǎo)數(shù)為-1；③在x=1處切線(xiàn)方程為y=4x-3．
（Ⅰ） 求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=ax³+bx²+cx+d的極值．

Answer 1

分析：（I）欲求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值，利用在x=0處的切線(xiàn)方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率．從而問(wèn)題解決．
（II）把（1）求出的實(shí)數(shù)a、b、c、d的值代入導(dǎo)函數(shù)中確定出解析式，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值和極小值．

解答：解（Ⅰ）y′=3ax²+2bx+c根據(jù)條件有

d=0 c=-1 3a+2b+c=4 a+b+c+d=1

解得

a=1 b=1 c=-1 d=0

（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）y=x³+x²-x，y′=3x²+2x-1，（7分）
y′=0x=

1

3

或-1（9分）
x，y，y′的關(guān)系如表所示

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ．+∞）
y′	+	0	-	0	+
y	↑	極大值1	↓	極小	- 5 27 ↑

因此函數(shù)y=x³+x²-x在x=-1處有極大值1，在x=′

1

3

處有極小值-

5

27

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．