Question

(2007北京，16)如下圖，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜邊AB=4，Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B－AO－C是直二面角．動點D在斜邊AB上．

(1)求證：平面COD⊥平面AOB；

(2)當D為AB的中點時，求異面直線AO與CD所成角的大��；

(3)求CD與平面AOB所成角的最大值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由題意，CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角． 又∵二面角B－AO－C是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=0， ∴CO⊥平面AOB， 又CO平面COD， ∴平面COD⊥平面AOB． (2)作DE⊥OB，垂足為E，連結(jié)CE(如下圖)，則DE∥AO，∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角． 在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=BO=1，∴CE=． 又DE=，∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=， ∴異面直線AO與CD所成角的大小為． (3)由(1)知，CO⊥平面AOB， ∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角， 且tan∠CDO=．當OD最小時，∠CDO最大，這時，OD⊥AB，垂足為D，，， ∴CD與平面AOB所成角的最大值為．

提示：

剖析：本題考查立體幾何的旋轉(zhuǎn)問題和異面直線所成的角，以及空間想象能力和邏輯推理能力．