Question

（本小題滿分14分）
如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知，M為A₁B與AB_１的交點(diǎn)，N為棱B₁C₁的中點(diǎn)

（１）  求證：MN∥平面AA_１C_１C
（２）  若AC＝AA₁，求證：MN⊥平面A₁BC

Answer 1

見解析。

本試題主要是考查了線面平行的證明與線面垂直的證明的綜合運(yùn)用。
（1）線面平行的證明關(guān)鍵是證明線線平行，結(jié)合判定定理得到結(jié)論。
（2）對于線面垂直的判定，我們可以利用線線垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于某個(gè)平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則線面垂直的定理得到。
⑴連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222639320389.png" style="vertical-align:middle;" />為與的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn).所以∥，………………………４分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222639554487.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以∥平面. …………………………6分

⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222639725511.png" style="vertical-align:middle;" />，所以四邊形是正方形，
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222639928645.png" style="vertical-align:middle;" />是直三棱柱，
所以平面，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222640178414.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222640271636.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222640474600.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面，
所以,又平面，………………………………………………8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222639522486.png" style="vertical-align:middle;" />∥，所以，， ………………………………10分
又，所以平面.……………………………………………14分